📌 题目（原卷版）
已知有界区域 Ω 由曲面 z = √(x²+y²) 与 x²+y²+z² = 4 围成，函数 f(u) 连续，则
A、B、C、D 四个选项见步骤 6。先动动手：拖动上面的 3D 图转一转，感受这个"冰淇淋蛋筒"。
① 认识两个曲面
球面 x²+y²+z²=4：以原点为球心、半径 2 的球（像一个篮球）。
锥面 z=√(x²+y²)：开口朝上的 45° 圆锥面（像一个漏斗）。
两个曲面相交于一个圆：z = √(x²+y²) 代入球面得 2(x²+y²)=4，即 x²+y²=2, z=√2，交线在高度 z=√2 处。
② 区域 Ω = 球面内 ∩ 锥面上方
Ω 是球面内部且锥面以上的部分 —— 就是图中绿色的"冰淇淋蛋筒"：
- 侧面是锥面（从原点张开的 45° 漏斗壁）
- 顶部是球面（半径 2 的球壳，最高点 z=2）
- 顶点在原点 O
点 (0,0,1.5) 在里面，点 (0,0,3) 在外面（超出球面），点 (1,1,0.5) 在外面（低于锥面）。
③ 为什么用球坐标？
被积函数是 f(x²+y²+z²)，而 x²+y²+z² 恰好等于球坐标里 r²（r = 点到原点的距离）。
球坐标变换：
其中：r = 到原点距离（蓝色线段），φ = 与 z 轴的夹角（黄色弧），θ = 绕 z 轴转过的角度（紫色弧）。
用下面滑块拖动 r、φ、θ，看右边红点怎么移动 👉
④ 确定三个变量的范围
r：0 → 2。r 是到原点的距离，最远只能到球面半径 2。
φ：0 → π/4。区域在锥面 z=√(x²+y²) 上方 ⟺ z ≥ √(x²+y²) ⟺ rcosφ ≥ rsinφ ⟺ φ ≤ π/4（45°）。
θ：0 → 2π。区域绕 z 轴转一圈，完全对称。
关键点：因为被积函数只依赖 r，三重积分被"剥洋葱"地分解成 r 方向一层层、φ 方向一片片，互不纠缠。
⑤ 体积微元 dV = r² sinφ dr dφ dθ
球坐标里一个小盒子，三条边分别是：
- r 方向：厚度 dr
- φ 方向：弧长 r·dφ（离原点越远，弧越长）
- θ 方向：弧长 r·sinφ·dθ（越靠近 z 轴，这一圈越短；φ=0 时缩成 0）
三边相乘：
这也是把 dxdydz 换成 r²sinφ drdφdθ 时必带的"雅可比因子"。
⑥ 写出积分，答案选 C ✅
代入 f(x²+y²+z²) = f(r²)，逐项对应：
- θ：0 → 2π（转一圈）
- φ：0 → π/4（锥面以上）
- r：0 → 2（球面以内）
- 被积：f(r²)·r²sinφ，微元 dr dφ dθ
所以正确答案是 C。
⑦ 其他选项为什么错 + 你这份 PDF 的勘误 ⚠️
A、B：写成柱坐标 ∫₀^{2π}∫₀²∫ f(r²+z²)·r dz dr dθ。球面在柱坐标里是 z=√(4−r²)，锥面是 z=r，正确写法应是 ∫r√(4−r²)，A、B 的 z 上下限都写错了，被积函数也写成了 f(r)。
D：φ 到 π/2 才停——那是把锥面当成"水平面 z=0"了，会多算一大块锥面下方的区域。
⚠️ 关于你电脑上的 PDF
你 C 盘里那份《2026数一真题.pdf》，这一题的题干抄成了 z = 4−x²−y² 与 z = x²+y²（两个抛物面）。我用数值积分验证过：按那个题干，四个选项的积分值都对不上（正确答案应是柱坐标 ∫₀^{2π}∫₀^{√2}∫r²4−r² f(r²+z²)·r dz dr dθ），说明是回忆版抄写时把锥面/球面抄成了抛物面。上面演示的是原卷真实版本（锥面+球面），答案 C 成立。做题以本页为准，PDF 那份别纠结。